Как найти среднюю скорость

При решении этих задач обязательно помним, что средняя скорость может быть найдена только делением всего пути на все время движения, даже если какое-то время объект не двигался (делал остановку). Если путь не задан, то необходимо ввести буквенное обозначение длины пути.

Задача 1. Поезд прошел путь 200 км. В течение времени ч он двигался со скоростью км/ч, затем сделал остановку на время мин. Оставшуюся часть пути он шел со скоростью км/ч. Какова средняя скорость движения поезда?

Путь в этой задаче известен. Значит, осталось определить время движения поезда. Кроме того, известно и время его движения на первом участке, значит, нам осталось определить время движения поезда на последнем кусочке, где он двигался со скоростью км/ч. Нетрудно понять, что длина этого отрезка пути равна 100 км, так как поезд уже преодолел 100 км за первый час. Поэтому

•    

  

•    

  

• Таким образом,
•    

  

• Ответ: 50 км/ч

Задача 2. Определить среднюю скорость поезда, если первую половину пути он шел со скоростью км/ч, а вторую половину пути  – со скоростью км/ч.

В этой задаче путь неизвестен. Обозначим его . Тогда время движения поезда на первой половине пути

Время движения на второй половине –

Средняя скорость – результат деления всего пути, пройденного поездом, на все время:

   

   

   

   

Ответ: км/ч

Задача 3. Два автомобиля одновременно выехали из Москвы в Петербург.  Один автомобиль первую половину пути ехал со скоростью км/ч, а вторую половину – со скоростью км/ч. Другой автомобиль первую половину времени ехал со скоростью км/ч, а вторую – со скоростью км/ч. Какой автомобиль приедет в Петербург раньше?

Если окажется, что средняя скорость одного из автомобилей больше, чем у другого, то он и должен прибыть раньше. Определим среднюю скорость каждого автомобиля. Первый:

•    

  

•    

  

•    

  

• Второй за первую половину времени прошел:
• За вторую половину времени:
• Тогда его средняя скорость:
• Таким образом, второй автомобиль прибудет раньше.

Задача 4. Найти среднюю скорость самолета, если известно, что первую треть пути он летел со скоростью км/ч, вторую треть – со скоростью км/ч, а последнюю часть пути – со скоростью, вдвое большей средней скорости  на первых двух участках пути.

Найдем среднюю скорость самолета на двух первых участках пути.

Тогда .

Определяем среднюю скорость на всем участке пути:

Ответ: 700 км/ч

Задача 5. Найти среднюю скорость поезда, если известно, что на прохождение отдельных участков дистанции, длины которых относятся как , потребовались промежутки времени, находящиеся в отношении , и на последнем участке скорость поезда км/ч. Считать, что на каждом из участков поезд двигался равномерно.

• Определим весь путь по его частям:
• Если , то , , , а весь путь
• Определим время движения поезда на последнем участке, зная его скорость:
• Тогда, так как
• Отсюда найдем :
• Общее время движения:
• Наконец, находим среднюю скорость:
• Ответ: средняя скорость поезда – 40 км/ч.

Задачи на среднюю скорость

Задачи на среднюю скорость (далее СК). Мы уже рассматривали задания на прямолинейное движение. Рекомендую посмотреть статьи   “Задачи на прямолинейное движение. Часть 1” и “Задачи на прямолинейное движение. Часть 2”.

 Типовые задания на среднюю скорость это группа задач на движение, они включены в ЕГЭ по математике и такая задача вполне вероятно может оказаться перед вами в момент самого экзамена. Задачки простые, решаются быстро.

Смысл таков: представьте объект передвижения, например автомобиль. Он проходит определённые участки пути с разной скоростью. На весь путь затрачивается какое-то определённое время. Так вот: средняя скорость это такая постоянная скорость с которой автомобиль преодолел бы данный весть путь за это же время  То есть формула средней скорости такова:

Если участков пути было два, тогда 

Если три, то соответственно:

• 

• и так далее.
• *В знаменателе суммируем время, а в числителе расстояния пройденные за соответствующие им отрезки времени.

• 

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 90 км/ч, вторую треть – со скоростью 60 км/ч, а последнюю – со скоростью 45 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Как уже сказано необходимо весь путь разделить на всё время движения. В условии сказано о трёх участках пути. Формула:

Обозначим весь пусть S. Тогда первую треть пути автомобиль ехал:

Вторую треть пути автомобиль ехал:

Последнюю треть пути автомобиль ехал:

Таким образом

Ответ: 60

Решите самостоятельно:

Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть – со скоростью 120 км/ч, а последнюю – со скоростью 110 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение

Первый час автомобиль ехал со скоростью 100 км/ч, следующие два  часа – со скоростью 90 км/ч, а затем два часа – со скоростью 80 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

• В условии сказано о трёх участках пути. СК будем искать по формуле:
• Участки пути нам не даны, но мы можем без труда их вычислить:
• Первый участок пути составил 1∙100 = 100 километров.
• Второй участок пути составил 2∙90 = 180 километров.
• Третий участок пути составил 2∙80 = 160 километров.
• Вычисляем скорость:
• Ответ: 88
• Решите самостоятельно:

Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час – со скоростью 100 км/ч, а затем два часа – со скоростью 75 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение

Первые 120 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 120 км — со скоростью 80 км/ч, а затем 150 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Сказано о трёх участках пути. Формула:

Протяжённость участков дана. Определим время, которое автомобиль затратил на каждый участок: на первый  затрачено 120/60 часов, на второй участок 120/80 часов, на третий 150/100 часов. Вычисляем скорость:

Ответ: 78

Решите самостоятельно:

Первые 190 км автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующие 180 км — со скоростью 90 км/ч, а затем 170 км — со скоростью 100 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение

Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите СК автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Посмотреть решение

*Есть задача про путешественника, который пересёк море. С решением у ребят возникают проблемы. Если вы не видите его, то пройдите регистрацию на сайте! Кнопка регистрации (входа) находится в ГЛАВНОМ МЕНЮ сайта. После регистрации войдите на сайт и обновите данную страницу.

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 17 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 323 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

В данной рубрике продолжим рассматривать задачи, не пропустите! Успехов вам!

С уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

Средняя скорость-Скоростьв физике

Средняя скорость

    Средняя скорость – не самое сложное понятие в кинематике. Однако для многих учащихся простота этого понятия оказывается обманчивой.

    Известно, что средняя скорость – это величина, равная отношению пути, пройденного телом, ко времени, за которое пройден этот путь: Краткость и простота определения скрывают от некоторых учеников важные для решения задач вопросы и ответы на них.     1.

Какое время следует учитывать при расчете средней скорости, если тело в пути делало остановки?     В определении указано: “…

ко времени, за которое пройден этот путь”, то есть ко всему промежутку времени с момента, когда тело тронулось в этот путь (представьте, что Вы включили секундомер), до момента, когда тело преодолело этот путь (только в этот момент Вы останавливаете секундомер!). О том, что время на остановки не следует учитывать, в определении ничего не сказано (поэтому секундомер на промежуточных остановках не выключайте!). Таким образом, при расчете средней скорости следует учитывать всё время, которое ушло на преодоление пути (в том числе и время, потраченное на остановки).

    2.

Как правильно рассчитать среднюю скорость тела, которое начало движение в пункте А, окончило его в пункте В, но по дороге из А в В поворачивало назад (может быть ни один раз!), а затем вновь продолжало движение к пункту В?    В определении указано “…равная отношению пути, пройденного телом…”, значит, при расчете средней скорости определяющим является не расстояние между точками (пунктами) начала и окончания движения, а реальный путь, которое прошло тело.

Пример 1. Найти среднюю скорость человека на пути от дома до станции, расстояние между которыми l =800 м, если, пройдя четверть пути, он вернулся домой (например, проверить, хорошо ли закрыта дверь) и через мин продолжил путь на станцию. Скорость движения человека постоянна и равна v =4 км/ч.

Решение. Началом движения человека, конечно, следует считать момент времени, когда он первый раз вышел из дома. Четверть пути составляет расстояние l1/4 =l : 4 =800 : 4 =200 м. При возвращении домой человек прошел путь 2l1/4 =400 м. После этого он вышел из дома второй раз и дошел до станции. Путь, пройденный человеком с начала движения, составит:

• S = 2l1/4 + l =400 + 800 =1200 м =1,2 км.
• Время t, которое затрачено на преодоление этого пути, складывается из времени пребывания дома и времени Т, в течение которого человек двигался по маршруту “из дома–к дому–на станцию”. Поскольку скорость движения человека постоянна (v =4 км/ч) и проделанный путь известен, то время движения составляет:
• 1,2 км : 4 км/ч =0,3 ч =18 мин. Тогда все время, затраченное человеком, составляет:
• t =+ T = 2 + 18 =20 мин =1/3 ч. Найдем среднюю скорость:
• 1,2 км : ч =3,6 км/ч.
• Ответ: vср =3,6 км/ч.

Среднюю скорость движения человек оценивает довольно часто, но судит о ней, глядя на часы. Торопящийся человек соотносит расстояние, которое ещё осталось преодолеть, и время, отпущенное ему на это, после чего делает вывод (хотя числовое значение средней скорости вряд ли при этом находится): “Ну, теперь можно идти помедленнее” или “Придется еще поднажать, иначе не успею”.

Вернемся к рассмотренному примеру. Будем считать, что скорость v0 =4 км/ч выбрана человеком не случайно. проходя от дома до станции ежедневно, человек замечает, что расстояние l ==800 м, он проходит за время t0 =12 мин =0,2 ч:

= 0,8 км : 0,2 ч =4 км/ч.

По существу, это – средняя скорость, поскольку доподлинно неизвестно, с какой скоростью человек идет в каждый момент времени. Двигаясь с такой скоростью и затрачивая время t0, человек ежедневно успевает на станцию вовремя.

Если приходится возвращаться домой (увеличивать путь, который надо преодолеть и на это требуется дополнительное время) или останавливаться (увеличивая время, необходимое на преодоление пути), выбранная скорость движения v0 не подходит: можно опоздать на станцию.

Значит, надо увеличивать скорость движения. Но как это сделать без напрасных затрат сил?

Пример 2. Человек обычно доходит из дома до станции за время t0 =12 мин, проходя расстояние l =800 м.

Однажды, пройдя четверть пути, он вспоминает, что не выключил электроприборы, и возвращается домой, выключает электроприборы, затрачивая время= 2 мин, и снова идет на станцию.

С какой наименьшей скоростью надо двигаться человеку, после того как он повернул домой, чтобы успеть на станцию в обычное время (и не опоздать на электричку).

Решение.

1. Обычно человек двигается со скоростью

м/мин =4 км/ч.

2. Пройдя с такой скоростью четверть пути, он затратил время

: 4 км/ч =0,05 ч =3 мин. Значит, в его распоряжении осталось время Т2 =t – T1 =12 – 3 =9 мин.

3. За время Т2 человек должен преодолеть путь до дома, а затем снова до станции: м =1 км и, кроме того, часть времени (= 2 мин) потратить дома. Поэтому путь S человеку придется преодолевать за время

• 

  ч,

• то есть со скоростью, не меньшей, чем
• 1 км : ч =км/ч =км/ч » 8,6 км/ч.

Проверьте, что добежав до дома со скоростью км/ч, а затем шагая со скоростью v2 =2v0 =8 км/ч, человек придет на станцию вовремя. Ответ: человеку необходимо двигаться со скоростью, не меньшей, чем км/ч. Обратите внимание, что средняя скорость за время (t =12 минут) от начала движения до его окончания составляет

м/мин =100 м/мин =6 км/ч.

Найденное значение vср в полтора раза выше, чем v0, и показывает, с какой начальной скоростью следует выходить человеку из дома, если он забывчив.

На рис.1 показан график зависимости скорости человека от времени для примера 2 в случае, если человек бежит домой со скоростью v1 =3v0 ==12 км/ч, а затем идет до станции очень быстрым шагом со скоростью v2 =2v0 =8 км/ч. Штрихпунктирной линией указан график движения со скоростью v0, а тонкой линией – со скоростью vср =6 км/ч.

Подсчитаем среднее арифметическое для значений скорости v0, v1, v2:

км/ч.

Это значение не равно значению средней скорости vср. Убедитесь в этом и не совершайте в дальнейшем распространенную ошибку: не пытайтесь искать среднюю скорость как среднее арифметическое значение (оно не имеет физического смысла!).

Пример 3. Автомобиль проезжает первую треть пути равномерно со скоростью v1 =108 км/ч, а остальные две трети пути – со скоростью v2 =72 км/ч. Найти среднюю скорость автомобиля. Решение. Неверно считать, что средняя скорость совпадает со средним арифметическим значением v1 и v2, которое составляет

км/ч.

1. Найдем время t1 движения со скоростью v1, полагая, что весь путь равен L [км]. Из условия ясно, что

2. Время t2 движения на оставшемся участке пути составляет

3. Итак, время на продолжение пути L составляет

4. По определению средней скорости

км/ч.

Ответ: средняя скорость vср =81 км/ч.

Значение средней скорости совпадает со средним арифметическим значением скорости только в одном частном случае, когда тело двигается с различными скоростями так, что между последовательными моментами изменения (переключения) скорости проходит одинаковое время Т.

Таким образом, тело двигается со скоростью v1 в течение времени t1=T, со скоростью v2 в течение времени t2=T, со скоростью v3 в течение времени t3=T и т.д.

Если на протяжении пути скорость изменялась n раз, то пройденный путь

S =v1t1 + v2t2 + v3t3 + … +vntn =T(v1 + v2 + v3 + … +vn).

Время t, за которое пройден путь, составляет

t =t1 + t2 + t3 + … + tn =T*n.

По определению:

.

Не запрещено для этого частного случая двигаться со скоростью v0=0, т.е. делать остановки. Но время остановки должно составлять t0 =T.

Пример 4. Вертолет пролетает без остановок равномерно и прямолинейно над пунктами А, В, С (в указанном порядке) и возвращается в А. Пункты А, В, С являются как бы вершинами треугольника.

Расстояние между А и В составляет LAB =150 км, между В и С LBC =200 км, между С и А LCA =100 км. Время, за которое вертолет пролетает от одного пункта до другого, составляет полчаса. Найти среднюю скорость движения вертолета на маршруте АВСА.

Изменится ли средняя скорость, если LCA =200 км и всё расстояние вертолет преодолеет за 1 ч?

Решение. 1. Находим скорость движения вертолета на каждом участке:

• км/ч;
• км/ч;
• км/ч.
• 2. Поскольку t =0,5 ч одинаково для всех участков движения, то
• км/ч.

3. Если расстояние LСА =200 км и tCA =1ч, то не меняется vCA=200 км/ч. Но в этом случае нельзя подсчитывать (для простоты) среднюю скорость как среднее арифметическое, так как tCА ? tAB ==tBC.

км/ч.

Ответ: 1) vcp1 =300 км/ч; 2) vcp2 =275 км/ч.

Контрольные задания на эту тему

Как найти среднюю скорость. Пошаговая инструкция :

Есть средние величины, неправильное определение которых вошло в анекдот или в притчу. Любые неверно произведённые расчёты комментируются расхожей общепонятной ссылкой на такой заведомо абсурдный результат.

У каждого, к примеру, вызовет улыбку саркастического понимания фраза “средняя температура по больнице”. Однако те же знатоки нередко, не задумываясь, складывают скорости на отдельных отрезках пути и делят подсчитанную сумму на число этих участков, чтобы получить столь же бессмысленный ответ.

Напомним из курса механики средней школы, как найти среднюю скорость правильным, а не абсурдным способом.

Аналог “средней температуры” в механике

В каких случаях каверзно сформулированные условия задачи подталкивают нас к поспешному необдуманному ответу? Если говорится о “частях” пути, но не указывается их протяжённость, это настораживает даже мало искушённого в решении подобных примеров человека.

А вот если в задаче прямо указывается на равные промежутки, например, “первую половину пути поезд следовал со скоростью…”, или “первую треть пути пешеход прошагал соскоростью…

“, и далее подробно расписывается, как объёкт передвигался на оставшихся равных участках, то есть известно соотношение S1 = S2 = … = Sn и точные значения скоростей v1, v2, … vn, наше мышление нередко даёт непростительную осечку.

Считается среднее арифметическое скоростей, то есть все известные значения vскладываются и делятся на n. В итоге ответ получается неверный.

Простые “формулы” расчёта величин при равномерном движении

И для всего пройденного пути, и для отдельных его участков в случае усреднения скорости справедливы соотношения, написанные для равномерного движения:

• S = vt (1), “формула” пути;
• t=S/v (2), “формула” расчёта времени движения;
• v=S/t (3), “формула” определения средней скорости на участке пути S, пройденном за время t.

То есть для нахождения искомой величины v с использованием соотношения (3) нам нужно точно знать две другие. Именно решая вопрос, как найти среднюю скорость движения, мы прежде всего должны определить, каков весь пройденный путь S и каково всё время движения t.

Математическое обнаружение скрытой ошибки

В решаемом нами примере пройденный телом (поездом или пешеходом) путь будет равен произведению nSn (так как мы n раз складываем равные участки пути, в приведённых примерах – половинки, n = 2, или трети, n = 3). О полном же времени движения нам ничего не известно.

Как определить среднюю скорость, если знаменатель дроби (3) явно не задан? Воспользуемся соотношением (2), для каждого участка пути определим tn = Sn : vn. Сумму рассчитанных таким образом промежутков времени запишем под чертой дроби (3).

Ясно, что, для того чтобы избавиться от знаков “+”, нужно приводить все Sn : vn к общему знаменателю. В результате получается “двухэтажная дробь”. Далее пользуемся правилом: знаменатель знаменателя идёт в числитель. В итоге, для задачи с поездом после сокращения на Sn имеем vср = nv1v2 : v1 + v2, n = 2 (4).

Для случая с пешеходом вопрос -, как найти среднюю скорость, решается ещё сложнее: vср = nv1v2v3 : v1v2 + v2v3 + v3v1, n = 3 (5).

Явное подтверждение ошибки “в числах”

Для того чтобы “на пальцах” подтвердить, что определение среднего арифметического – ошибочный путь при расчёте vср, конкретизируем пример, заменив абстрактные буквы числами. Для поезда возьмём скорости 40 км/ч и 60 км/ч (ошибочный ответ – 50 км/ч).

Для пешехода – 5, 6 и 4 км/ч (среднее арифметическое – 5 км/ч).

Нетрудно убедиться, подставив значения в соотношения (4) и (5), что верными ответами будут для локомотива 48 км/ч и для человека – 4,(864) км/ч (периодическая десятичная дробь, результат математически не слишком красивый).

Когда среднее арифметическое “не подводит”

Если задача формулируется так: “За равные промежутки времени тело двигалось сначала со скоростью v1, затем v2, v3 и так далее”, быстрый ответ на вопрос, как найти среднюю скорость, может быть найден неправильным способом.

Предоставим читателю самостоятельно в этом убедиться, просуммировав в знаменателе равные промежутки времени и воспользовавшись в числителе vср соотношением (1). Это, пожалуй, единственный случай, когда ошибочный метод приводит к получению корректного результата.

Но для гарантированно точных расчётов нужно пользоваться единственно правильным алгоритмом, неизменно обращаясь к дроби vср = S : t.

Алгоритм на все случаи жизни

Для того чтобы наверняка избежать ошибки, при решении вопроса, как найти среднюю скорость, достаточно запомнить и выполнить простую последовательность действий:

• определить весь путь, просуммировав длины отдельных его участков;
• установить всё время пути;
• поделить первый результат на второй, неизвестные, не заданные в задаче величины при этом (при условии корректной формулировки условий) сокращаются.

В статье рассмотрены простейшие случаи, когда исходные данные приводятся для равных долей времени или равных участков пути.

В общем случае соотношение хронологических промежутков либо пройденных телом расстояний может быть самым произвольным (но при этом математически определённым, выраженным конкретным целым числом или дробью).

Правило обращения к соотношению vср = S : t абсолютно универсально и никогда не подводит, сколь бы сложные на первый взгляд алгебраические преобразования ни приходилось выполнять.

Напоследок отметим: для наблюдательных читателей не осталась незамеченной практическая значимость использования верного алгоритма.

Правильно рассчитанная средняя скорость в приведённых примерах оказалась несколько ниже “средней температуры” на трассе.

Поэтому ложный алгоритм для систем, фиксирующих превышения скорости, означал бы большее число ошибочных постановлений ГИБДД, высылаемых в “письмах счастья” водителям.

Среднее арифметическое

Запомните!

Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и поделить их сумму на их количество.

Пример:

Найти среднее арифметическое 2, 3 и 4.

Обозначим среднее арифметическое буквой «m». По определению выше найдем сумму всех чисел.

2 + 3 + 4 = 9

Разделим полученную сумму на количество взятых чисел. У нас по условию три числа.

В итоге мы получаем формулу среднего арифметического:

Для чего нужно среднее арифметическое?

Кроме того, что его постоянно предлагают найти на уроках, нахождение среднего арифметического весьма полезно и в жизни.

Например, вы решили продавать футбольные мячи. Но так как вы новичок в этом деле, совершенно непонятно по какой цене вам продавать мячи.

Тогда вы решаете узнать, по какой цене в вашем районе уже продают футбольные мячи конкуренты. Узнаем цены в магазинах и составим таблицу.

Магазин Цена футбольного мяча

«Спорт-товары»
290 руб.

«Adidas»
360 руб.

«Все для футбола»
310 руб.

Цены на мячи в магазинах оказались совсем разные. Какую цену для продажи футбольного мяча нам лучше выбрать?

Если выбрать самую низкую (290 руб.), то мы будем продавать товар себе в убыток. Если выбрать самую высокую (360 руб.), то покупатели не будут приобретать футбольные мячи у нас.

Нам нужна средняя цена. Здесь на помощь приходит среднее арифметическое.

Вычислим среднее арифметическое цен на футбольные мячи:

Средняя цена = = = 320 руб.

Таким образом, мы получили среднюю цену (320 руб.), по которой мы можем продавать футбольный мяч не слишком дёшево и не слишком дорого.

Средняя скорость движения

Со средним арифметическим тесно связано понятие средней скорости движения.

Наблюдая за движением транспорта в городе, можно заметить, что машины, то разгоняются и едут с большой скоростью, то замедляются и едут с маленькой скоростью.

Таких участков на пути следования автотранспорта бывает много. Поэтому для удобства расчётов, используют понятие средней скорости движения.

Запомните!

Средняя скорость движения — это весь пройденный путь разделить на всё время движения.

Рассмотрим задачу на среднюю скорость.

Задача № 1503 из учебника «Виленкин 5 класс»

Автомобиль двигался 3,2 ч по шоссе со скоростью 90 км/ч, затем 1,5 ч по грунтовой дороге со скоростью 45 км/ч, наконец 0,3 ч по просёлочной дороге со скоростью 30 км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля на всём пути.

Для расчёта средней скорости движения нужно знать весь путь, пройденный автомобилем, и всё время, которое автомобиль двигался.

S1 = V1t1

S1 = 90 · 3,2 = 288 (км)

— шоссе. S2 = V2t2

S2 = 45 · 1,5 = 67,5 (км)

— грунтовая дорога. S3 = V3t3

S3 = 30 · 0,3 = 9 (км)

— просёлочная дорога. S = S1 + S2 + S3

S = 288 + 67,5 + 9 = 364,5 (км)

— весь путь, пройденный автомобилем. t = t1 + t2 + t3

t = 3,2 + 1,5 + 0,3 = 5 (ч)

— всё время. Vср = S : t

Vср = 364,5 : 5 = 72,9

(км/ч) — средняя скорость движения автомобиля.

Ответ: Vср = 72,9 (км/ч) — средняя скорость движения автомобиля.

Формула средней скорости движения

Рассмотрим одну из самых простейших задач, которые можно встретить в школьной программе. Итак немного теории

Средняя скорость движения –  это отношение полного пути пройденного объектом на общее время затраченное на это путешествие

Естественно предположить, что если объект часть общего пути прошел за одно время,  другую часть  за другое время, а третью за третье время, то  средняя скорость  будет являтся отношением  всех частей пути на все затраченное время.

А если  известно  например  части пути и скорость объекта на каждом пути ?  Не среднее арифметическое же брать от всех скоростей… хотя очень часто  именно так и поступают впервые большинство учеников, да и взрослых тоже

На самом деле, при известных частях пути и скоростей на участке формула будет следующая

наверняка догадались как она получилась из предыдущей формулы.

Если в задании пути буду обозначаться как часть от общего ( например,  первая половина пути, 2/3 пути и т.п.) то, учитывая  что сумма таких частей будет равна всему пути ( равной единице), то средняя скорость  будет определятся как

Пример: 

Автомобиль проехал первую треть дороги со скоростью 60 км/ч, вторую треть дороги со скоростью 120 км/ч, третью треть дороги со скоростью 40 км/ч. найдите среднюю скорость.

Решение:

Ответ: 60 км/час

И последний вариант формулы на среднюю скорость это когда известно время и скорость на каждом из участков.

Правда есть еще четвертый вариант, но он практически никогда не встречается в задачах. Это когда встречаются комбинированные данные, например: Пешеход, преодолевает путь из точки А в точку Б.

Первую половину пути пешеход прошел со скоростью 5 км/час а вторую половину пути за 1 час.

Какое расстояние  между А и Б, если средняя скорость пешехода, со всеми остановками и перекурами, была 3 км/час

Смотрим вот на эту формулу    и думаем

Части пути нам известны, то есть общее расстояние нам известно и принимается за единицу ( половина пути+половина пути равна единице пути)

Теперь со временем

На первом участке время легко вычислить ( половину пути разделить на 5 км/ч). Получаем одну десятую пути.  Не пугайтесь что получилось “время  равно одной десятой пути”. Оно потом понадобится..

Время на втором участке известно и равно 1 час

Напишем нашу формулу по полученным данным

Выразим расстояние от точки А до точки Б через среднюю скорость и получим

Поставим значение средней скорости  получим что общее расстояние которое преодолел пешеход равно  4 километра и почти 286 метров

Сложновато? Зато интересно и увлекательно.

Из последней формулы  вытекает  “парадоксальный” вывод: При средней скорости приближающейся к 10 км/час  расстояние между точками А и Б становится неприлично большим и уходит в бесконечность, а при 11 км/час расстояние вообще  становится отрицательным.

Что хотелось бы по этому поводу сказать. не всегда надо бездумно подвергать анализу последнюю формулу, особенно когда знаменатель  обращается в ноль.

Взяв предыдущую формулу  – мы бы увидели что  при средней скорости в 10 км/ч , расстояние просто будет неопределено. То есть при заданных условиях средняя скорость никак не может быть больше 10 км/час.

Как найти среднюю скорость?

Средней скоростью называется скорость, которая получается, если весь путь поделить на время, за которое объект преодолел этот путь. Формула средней скорости:

Об этом написано в статье Как вычислить среднюю скорость по перемещению. Например, автомобилист проехал за сутки 800 км. Понятно, что он ехал то быстрее, то медленнее, останавливался, чтобы поесть и поспать. Но его средняя скорость в пути равна

• V ср = S/t = 800 км / 24 час. = 33,3(3) км/час.

Задачи на движение с переменной скоростью

Усложним задачу. Пусть у нас будет всадник, который первые t1 = 15 мин. скакал на лошади со скоростью v1 = 20 км/час, вторые полчаса t2 = 0,5 час. лошадь шла шагом со скоростью v2 = 6 км/час, а ещё t3 = 36 мин. бежала со скоростью v3 = 15 км/час. Как найти среднюю скорость (V ср) движения всадника и лошади?

• Всадник был в пути t = t1 + t2 + t3

В нашем случае весь путь равен сумме трёх отрезков, которые вычисляются как произведение скорости на время, о чём написано в статье Как найти скорость, время расстояние:

• S = S1 + S2 + S3 = v1*t1 + v2*t2 + v3*t3
• V ср = S/t = (v1*t1 + v2*t2 + v3*t3) / (t1 + t2 + t3)

Чтобы не путаться с часами и минутами, переводим все минуты в часы: 15 мин. = 0,4 час, 36 мин. = 0,6 час. Подставляем числовые значения в последнюю формулу:

• V ср = (20*0,4 + 0,5*6 + 0,6*15) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = (8 + 3 + 9) / (0,4 + 0,5 + 0,6) = 20 / 1,5 = 13,3 км/час

Ответ: средняя скорость V ср = 13,3 км/час.

Как найти среднюю скорость движения с ускорением

Если скорость в начале движения отличается от скорости в его конце, такое движение называют ускоренным. Причём далеко не всегда тело действительно двигается всё быстрее и быстрее. Если движение замедляется, всё равно говорят, что оно движется с ускорением, только ускорение будет уже отрицательным.

Иными словами, если автомобиль, трогаясь с места, через секунду разогнался до скорости 10 м/сек, то его ускорение а равно 10 м в секунду за секунду а = 10 м/сек². Если в следующую секунду автомобиль остановился, то его ускорение тоже равно 10 м/сек², только уже со знаком минус: а = -10 м/сек².

Скорость движения с ускорением в конце временного отрезка вычисляется по формуле:

где V0 – начальная скорость движения, a – ускорение, t – время, за которое наблюдалось данное ускорение. Плюс или минус в формуле ставится в зависимости от того, увеличивалась скорость или уменьшалась.

Средняя скорость за отрезок времени t вычисляется как среднее арифметическое начальной и конечной скорости:

Находим среднюю скорость: задача

Шарик толкнули по ровной плоскости с начальной скоростью V0 = 5 м/сек. Через 5 сек. шарик остановился. Чему равны ускорение и средняя скорость?

Конечная скорость шарика V = 0 м/сек. Ускорение из первой формулы равно

• а = (V – V0)/ t = (0 – 5)/ 5 = – 1 м/сек².

Средняя скорость V ср = (V0 + V) / 2= 5 /2 = 2,5 м/сек.

Как решать задачи на среднюю скорость

В ЕГЭ по матматике профильного уровня встречаются задачи на нахождение средней скорости автомобиля, путешественника, бегуна и т.п. В этой статье мы постараемся разобраться со способами решения данного типа зданий. Попробуйте решить следующие задачи:

Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть – со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть – со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью 20 км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью 480 км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч, а вторую половину времени – со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Если у Вас возникает недопонимание, или же вы просто не знаете как решать такие задачи, то данная статья предназначена как раз для Вас!

Средняя скорость объекта

Для начала вспомним формулу, по которой решаются все задачи на движение: ​( S=vt )​ — пройденный путь равняется произведению скорости и времени. Так вот, средняя скорость равна отношению всего пути ко времени, которое было затрачено на прохождение этого пути. Если перевести на математический язык:

[ v_{cp}=dfrac{S}{t} ]

Однако, раз возникла нужда вычислить среднюю скорость, то наверняка она была разной на различных промежутках. Например, Вам необходимо прийти в школу. Сначала вы какой-то путь проезжаете на автобусе, а затем идете пешком.

Условно, весь ваш путь можно разделить на 2 промежутка, и на обоих Ваша скорость и время его прохождения будет разной.

Поэтому, если в задаче дано несколько промежутков, то мы должны найти общий путь, который равен сумме всех промежутков вашего пути (то есть ​( S=S_1+S_2+ldots+S_n )​ (где ​( n )​ — количество путей, на которых скорость была постоянной).

Аналогично мы должны вычислить и общее время, которое было затрачено на прохождение всего пути. То есть ​( t=t_1+t_2+ldots+t_n )​, причем время вычисляем на каждом промежутке! То есть, запишем математически формулу для нахождения времени на n-м промежутке: ​( t_n=dfrac{S_n}{v_n} )​

Решение задач

А теперь, обогатившись некоторой теорией решим первую из предложенных задач:

Первую треть трассы велосипедист ехал со скоростью 12 км/ч, вторую треть – со скоростью 16 км/ч, а последнюю треть – со скоростью 24 км/ч. Найдите среднюю скорость велосипедиста на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.

Решение:

По условию задачи мы видим, что автомобиль прошёл сначала одну треть, затем вторую треть и последнюю треть. Значит весь его маршрут состоит из трёх участков. Поэтому удобно обозначить длину всего его пути за ​( 3S )​

Теперь нам необходимо выяснить за какое время автомобиль прошёл каждый из этих промежутков (воспользовавшись формулой ​( t_n=S_n/v_n )​). Причем длина каждого из трёх промежутков будет равна S.

Время, за который был пройдена первая треть: ​( t_1=dfrac{S}{12} )​.

Аналогично, найдем время, за которое были пройдены вторая и третья трети всего пути: ​( t_2=dfrac{S}{16} )​ и  ​( t_3=dfrac{S}{24} )​

Итак, мы выяснили сколько времени тратит автомобиль на прохождение каждого из отрезков своего пути, значит можем найти сколько он потратил времени всего: ​( t=t_1+t_2+t_3 )​. Таким образом: ​( t=dfrac{9S}{48} )​

• Теперь мы знаем длину всего пути (( 3S )​) и сколько времени автомобиль затратил на прохождение всего пути (( t=dfrac{9S}{48} )​, значит найти среднюю скорость не составит и труда:
• [ v_{cp}=3S:dfrac{9S}{48}=16 ]
• Ответ: 16
• Теперь постарайтесь самостоятельно решить оставшиеся две текстовые задачи на нахождение средней скорости, а если не получается, то посмотрите видео-урок

Ответы к текстовым задачам:

Ответ к задаче №1: 16;

Задача №2: 38,4;

Задача №3: 70.

Видео-урок: «Как решать задачу на нахождение средней скорости»:

В данном видео-уроке я покажу, как решаются все три предложенные текстовые задачи на нахождение средней скорости. Также Вы можете сравнить своё решение с моим.

• #6. Длина хорды
• Как готовиться к ЕГЭ по математике самостоятельно (часть 1)

Как рассчитать среднюю скорость

Вам понадобится

Инструкция

Проще всего рассчитать среднюю скорость равномерного движения тела на некотором участке пути. Так как скорость на всем отрезке движения не изменяется, то она и будет равняться средней скорости. В виде формулы это можно записать следующим образом:Vср = Vрд, где Vср – средняя скорость, а Vрд – скорость равномерного движения на некотором участке.

Для расчета средней скорости равноускоренного (равнозамедленного) движения на некотором участке сложите конечную и начальную скорость. Затем результат разделите на два. Полученное частное и будет средней скоростью. Более наглядно это выглядит в виде формулы:Vср = (Vк + Vн) / 2, где Vср – средняя скорость, Vк – конечная скорость, Vн – начальная скорость.

Если конечная скорость неизвестна, но задана начальная скорость и величина ускорения, то воспользуйтесь следующим вариантом вышеприведенной формулы:Так как при равноускоренном движении Vк = Vн + a * t, где а – ускорение, то:Vср = (Vк + Vн) / 2 = (Vн + a * t + Vн) / 2 = Vн + a * t / 2 Если известна конечная скорость и ускорение, но не задана начальная скорость, то преобразуйте вышеприведенную формулу к следующему виду:Vср = (Vк + Vн) / 2 = (Vк + Vк – a * t) / 2 = Vк – a * t / 2 Если известна длина пройденного телом пути и время, затраченное на прохождение этого пути, то для подсчета средней скорости разделите пройденный путь на время. То есть воспользуйтесь формулой:Vср = S / t, где S – длина пройденного пути.

При этом учтите, что время необходимо учитывать полностью, независимо от того, останавливался объект в процессе прохождения участка или нет.

Если не указано особо, то под средней скоростью подразумевается средняя путевая скорость. При ее расчете под пройденным путем понимается именно длина траектории движения тела. Если тело в процессе движения возвращалось в пройденные пункты, то такие участки также учитываются (прибавляются) к общей длине пути.

Если нужно найти среднюю скорость перемещения, то в качестве параметра S возьмите то расстояние, на которое объект сместился за время t. Так как перемещение происходит в определенном направлении, то величина S в этом случае векторная, т.е. кроме абсолютного значения, характеризуется еще и направлением. Соответственно и значение средней скорости перемещения будет векторной величиной. Поэтому перед решением задачи обязательно уточните, какую именно скорость требуется рассчитать: среднюю путевую скорость, среднюю скорость перемещения или просто абсолютное значение средней скорости перемещения.Кстати, если объект в процессе движения возвратится в исходную точку, то его средняя скорость перемещения окажется равной нулю.

• как определить среднюю скорость
• Определить среднюю скорость

Задача на нахождение средней скорости

*Данная запись сделана на скорую руку, просто для демонстрации. В будущем весь материал будет тщательно подобран, “оттеорен” и снабжён большим количеством примеров*

Катер прошёл от одной пристани до другой 240 км и вернулся обратно. Найдите среднюю скорость катера на всем пути если его собственная скорость 18 кмч, а скорость течения 2 кмч.

Самое главное, что нужно помнить при нахождении средней скорости – это то, что она средняя, а не средняя арифметическая. Конечно, взглянув на задачу хочется сразу сложить две скорости – по течению и против, а потом разделить на 2.

Это самая распространённая ошибка для задач такого типа! Данный способ годится только для нахождения среднего арифметического, а средняя скорость равна среднему арифметическому от скоростей тела во время движения только в том случае, когда тело двигалось с этими скоростями одинаковые промежутки времени.

Можно подумать, что путь туда и путь обратно – равные промежутки времени, но на самом деле это только равные расстояния, но не время. Итак, средняя скорость – это весь пройденный путь делённый на всё затраченное время.

*Надеюсь, все знают формулу скорости? Запомнить её очень легко, если подумать о транспорте.

“С какой скоростью тут можно ехать? – 60 километров в час!” – с одной стороны, этот диалог напоминает нам о безопасной езде)) А с другой – о формуле скорости! Километров в час.

В километрах измеряется расстояние, в часах – время, а предлог “в” заменяет черту дроби. Так чему равна скорость? Расстояние делить на время!

Как же решить задачу?
1) Найти весь пройденный путь
2) Найти всё затраченное время
3) Разделить 1) на 2)

1) Читаем в условии “Катер прошёл от одной пристани до другой 240 км и вернулся обратно”. Значит, он прошёл два раза одно и то же расстояние, один раз – до пристани, второй раз – обратно. Следовательно, S = 240*2 = 480 км.

2) А вот с общим временем будет сложнее – оно в условии не задано. Придётся находить его из значений скорости! “Собственная скорость катера 18 кмч, а скорость течения 2 кмч”.

a) Раз катер плавал туда-обратно, значит один раз он шёл по течению, а второй раз – против течения.

По течению – скорости течения и объекта складываются, т.к. они движутся в одну сторону!
Против течения – от скорости объекта отнимается скорость течения, т.к. течение мешает, отбирает скорость у объекта.
В итоге: скорость по течению = 18 + 2 = 20 км/ч, скорость против течения = 18 – 2 = 16 км/ч.

б) Из формулы скорости (см. чуть выше о том, как её запомнить) находим время. Время = расстояние / скорость.

Время поездки по течению = 240 / 20 = 12 ч
Время поездки против течения = 240 / 16 = 15 ч.
——————————————————–
Общее время = время поездки по течению + время поездки против течения = 12 + 15 = 27 ч

3) Средняя скорость – весь пройденный путь делённый на всё затраченное время.

480 / 27 = 17,(7) км/ч

Ответ: 17,(7) км/ч