Содержание
Загадки Эшера..
«Полюбите эту красотку
и она непременно ответит вам взаимностью»
Слова эти принадлежат моему институтскому преподавателю высшей математики Нине Константиновне Артмеладзе..
Видимо желая пробудить интерес предмету говорила она их нам, своим нерадивым студентам, имея ввиду эту самую математику.
Сказать что мы тогда понимали реальный смыл этих слов не могу однако то, что математика может доставлять истинное удовольствие можно было по ней самой, сидя и наблюдая как экспрессивно, увлеченно и темпераментно она вела нам свой предмет.
Вероятно, Нины Констаниновны уже давно нет в живых, однако ту сухонькую старушку лет 70-ти с горящими не по годам глазами, я помню до сих пор, и это, одно из многих других ее ярких изречений, которое вывела в эпиграф, вспомнила совсем недавно…после посещения выставки Маурица Корнелиуса Эшера….
Итак Эшер. Сказать по правде имя это хоть и было мне знакомо, не говорило практически ни о чем. Собралась идти на выставку больше за компанию и даже подумать не могла, что придется прикладывать усилие чтоб оттуда уйти…К некоторым его работам я возвращаюсь и по сей день и все, о чем пойдет мой рассказ ниже, узнала спустя время… …
Интерес Эшера к рисунку был отчасти делом случая. Родители маленького мальчика, далеко не бедные люди, мечтая видеть в сыне архитектора отдают его в частную школу, где среди прочих предметов он занимался рисованием.
Ничего явно выдающегося и выделяющего его среди сверстников им в то время создано не было, однако его учителем был художник Самуэль де Мескита, оказавший на молодого человека огромное влияние.
Эшер поддерживал дружеские отношения с Мескитой на протяжении всей жизни последнего. Здоровье не позволило Эшеру получить архитектурное образование, его семья поселяется на юге Италии.
Он был очарован природой и красотой здешних мест.
Любимым занятием становятся пешие многочасовые прогулки во время которых делаются зарисовки.
По наставлению учителя, Эшер уделяет гравюрам особое внимание.
Здесь, в Италии, он проявляет интерес к перспективе трехмерного пространства в рисунке, обращает внимание на математическую точность схождения линий, для придания видимости перспективы.
Особенно вдохновляла его в этом смысле Флоренция, где он посетил галерею Уффици, знакомясь с мастерством живописи древних мастеров. Произведения Микеланджело, работы Леонардо да Винчи привлекали пристальное внимание Эшера. Со временем, уже будучи женатым человеком, он поселяется в вечном городе.
Это может показаться странным, но днем он не видит в Риме ничего для себя интересного. И совсем другое дело ночь…
Долгие часы он проводил в соборе Св. Петра работы великого Микеланджело. Здесь он пытался осмыслить глубину архитектурного пространства. Так постепенно зарождается его увлечение зрительными парадоксами. То, что было скрыто для большинства постепенно открывалось Эшеру благодаря его тонкой наблюдательности, и, думаю, именно это качество стало залогом успеха многих его картин.
Эшер был человеком замкнутым даже с родными. Иногда он черпал вдохновение в своих снах.
При всей кажущейся любви к уединению Эшер любил путешествовать. Путешествуя из Испании в Италию на грузовом судне VERDI Эшер посещает Сицилию и Мальту.
Был и такой этап в жизни Эшера, когда ему удалось убедить одну из итальянских круизных компаний «Адрия» взять его с супругой пассажирами на борт корабля, в ответ он обязался изображать корабли и гавани, в которые те заходили, для рекламных буклетов компании.
На удивление Эшера его предложение было принято. Среди множества городов, которые он посетил, Сенглеа на Мальте приглянулся ему особенно. Здесь, на острове с богатой историей, родились многие его зарисовки и замыслы. Одна из известных- «Балкон», где Эшер впервые применяет эффект лупы, с помощью которого можно разглядеть цветок на балконе на отдаленном расстоянии.
Этот прием можно будет рассмотреть и в других его работах.
Математические открытия вдохновляли Эшера на создание некоторых картин. Однако его искусство, в свою очередь, являлось притягательным для математиков. Они признавали его математический дар. Предметом восхищения было то, как ему, человеку далекому от математики, удавалось отобразить суть математических задач.
Его картины разбирали и обсуждали на математических симпозиумах и конгрессах. «Когда я увидел впервые его гравюру «День и ночь», я лишился дара речи»– вспоминает математик и физик Роджер Пенроуз , «у него был явно математический талант зрительно изображать свою интуицию на листе бумаги».
Эшер был человеком интересующимся всем необычным. если его что то сильно увлекало, он старался докопаться до сути явления и мастерски делал это в своих работах, изображая рукой художника то, как он это себе представлял.
Так работы Эйнштейна вдохновили Эшера на создание гравюры «Относительность». Посмотрите как меняется картинка , если на нее смотреть под разными углами . Три силы тяжести направлены перпендикулярно одна другой. Три объекта прорезают друг друга под прямым углом и каждый населен людьми.
Обитатели соседних маленьких миров не могут ходить, сидеть или стоять на одном и том же полу поскольку у них разные представления о горизонтали и вертикали. Однако они могут пользоваться одной и той же лестницей.
Мы видим, как наверху два человека идут рядом по лестничным ступенькам как будто в одном направлении, тем не менее один движется вверх, а другой вниз. Контакт между ними невозможен, т.к. они живут в разных мирах и не подозревают о существовании друг друга.
В литографии «Вверх и вниз» одна и та же картина представлена дважды, но рассматриваем ее с двух разных точек.
Верхняя часть – вид, который откроется наблюдателю, если он поднимется тремя этажами выше, нижняя- то, что он увидит стоя на земле,т.е. на площадке выложенной плитками. Подняв голову наверх, он увидит тот же самый плиточный пол, повторенный как потолок в центре композиции, однако он в тоже время служит полом верхней сцены.
Вверху плиточный потолок повторяется, на этот раз как настоящий потолок. Эшер все чаще обращается к теме так называемых «невозможных пространств». Его привлекают зрительные парадоксы.Одна из ранних работ в этом направлении –«Вавилонаская башня».
Она иллюстрирует библейский миф о трудностях перевода и невозможности коммуникаций.
Фигура невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенорузом , мы можем наблюдать в картине «Водопад». Здесь два невозможных треугольника соединены в невозможную фигуру, создается впечатление, что вода снизу поднимается наверх, по типу вечного двигателя, а разноэтажные башенки смотрятся почти вровень.
Статья английского математика Роджера Пенроуза о невозможных фигурах была опубликована в британском журнале психологии в 1958 году «ожила» в картине Эшера «Спускаясь и поднимаясь».
Сама иллюзия для обывателя вряд ли будет заметна, скорей вы отметите здесь некий визуальный абсурд: монахи неизвестного ордена совершают нескончаемую прогулку про круговой галерее на крыше своего монастыря, те кто идет во внешнем ряду все время взбираются вверх, а те, кто шествует во внутреннем ряду, постоянно спускаются вниз.
Как такое может быть? Для математиков картина представляла колоссальный интерес наглядностью решаемых ими задач.
Ничего удивительного, но и психологи свою очередь находили в картинах Эшера нечто для себя интересное. «Столкновение» – вот прекрасный пример того, как одно и тоже изображение или явление может восприниматься по-разному, т.е. наглядно изображен принцип двоякости нашего сознания в зависимости от того, на чем концентрировать внимание…
Фигура ( в центре картины) или, если хотите, «проблема» может быть «плоской» т.е. не выделяющейся и мало значимой на общем фоне и посмотрите что с ней происходит если концентрироваться на чем то одном, это «одно» выходит на первый план становится «объемным» т.е.
захватывает нас целиком…Здесь же у нас есть выбор, на чем концентрироваться, на черном или на белом, и это тоже зависит от конкретного человека, от его настроя на восприятие мира….
Картина в некоторых источниках называется «Оптимист и пессимист» и это наиболее точно, как мне кажется, обозначает суть рисунка…
Еще одна из известных работ Эшера –«Рептилии». Здесь мне видится схожий эффект. Плоская и ничем не привлекающая картинка, может “ожить” если на ней сосредоточится. Рептилии путешествуют из мозайки в реальную жизнь и обратно транзитом через учебник зоологии.
Эмоциональное наполнение произведений Эшера уникально. Почти каждую его работу, мне хотелось охарактеризовать как «пограничное искусство». Пограничное по исполнению, по восприятию и по ощущению которое она оставляет..
Погранично оно и в том, как мастерски переплелись в его работах архитектура, математика, психология и даже биология. Говорят, что постощущения и эмоции от картин Эшера сродни эмоциям математиков.
Недаром они видели в нем «родственную душу».
Юг Испании и в частности Альгамбра, оставляет свой след в творчестве Эшера. Дворцы Альгамбры и великолепное мавританское искусство пробуждают в нем интерес к симметрии. Принцип симметрии, который так любили математики, теперь захватывает и Эшера. Различные симметричные построения, путем заполнения плоскости тождественными фигурами становится темой многочисленных его работ.
Пиком этого увлечения, как мне кажется, являются его многочисленные метаморфозы.
От них вообще нереально оторваться…насколько это просто по идее и совершенно непостижимо по исполнению…
Правильные многогранники и многоугольники имели особое очарование для Эшера. Но часто они встречаются лишь в качестве вспомогательных элементов.На литографии «Хаос и порядок» изображен малый звездчатый додекаэдр, один из четырех многогранников Кеплера-Пуансо а вокруг предметы выброшенные за ненадобностью…
На гравюре «Звезды» мы видим объединение тетраэдров, кубов и октаэдров и для сложности восприятия всей этой и без того громоздкой фигуры, Эшер поместил внутрь хамелеонов.
Чтобы представить картину целиком нам надо отвлечься от привычного восприятия …
Невозможный куб можно встретить в картине «Бельведер». Ребра куба скрещиваются самым невероятным образом, оно невозможно в трехмерном пространстве
Бесконечные мозайки наглядно демонстрировали любовь Эшера к геометрии. Элементы начертательной, проективной геометрии явно просматриваются в его рисунках.
В тоже время в его мозайке биологи видят с молекулярные модели, с их тождественностью вирусных соединений сфер и многогранников, а кристаллографы находят в них нечто близкое себе, связанное с описание идеальных кристаллов.
Стремление Эшера создать на плоскости иллюзии трехмерного пространства, которого на самом деле нет, создание искусственной перспективы и зрительной головоломкой привлекало и привлекает по сей день … Его любимая тема – бесконечность…Она была у него внутренней( плоской)
внешней(объемной) –«Предел круга»
циклической – «Рисующие руки»…
Однако пикового эффекта тема бесконечности достигла в его «Выставке гравюр» Самая непостижимая, самая загадочная из его картин, явилась воплощением тайны, она многими считается шедевром….
Художник пытался создать в ней эффект бесконечности, который наблюдал в парикмахерских при наведении зеркал и одновременно использовал уже известный свой прием-«картинка в картинке». Подобная «анфилада» картинок называется «эффектом Дросте» по названию голландской марки какао Droste которая впервые использовала этот эффект в своей рекламе.
Помимо этого, в своей картине он пытается исказить пространство по типу бутылки Клейна, чтобы создать эффект постоянного движения. Эшер решил замкнуть две плоскости в единое целое.
Человек на переднем плане любуется гравюрой, висящей в галерее, в которой изображен он сам…Он видит себя, смотрящего на себя, смотрящего на себя, смотрящего на себя….
и так до бесконечности…это явление находится на грани возможного, его трудно охватить глазом, но оно очень понятно математикам и Эшер этот эффект четко представлял.
Он создал галерею, в которой череда картин является зрительным противовесом череде зданий , но замкнуть рисунок по периметру невозможно не исказив его и не выйдя за рамки …Картина словно представляла дефект, а пустой центр только разжигал любопытство многих. …Одни видели в ней т.н. поверхность Римана –абстрактную поверхность с отверстием внутри, другие основу концепции инь и янь, а третьи – черную дыру.
Работой Эшера заинтересовался голландский математик Хендрик Ленстра. Анализируя «Выставку гравюр», он, как математик, решил «закончить незаконченное», но для этого попытался разложить деформированную решетку кручения т.н решетку Эшера пошагово …
В этой решетке Эшер помимо кручения сохранил квадраты канвы … «Решетка основана на повторяемости– дает пояснение математик– деформированный квадрат будет выглядеть квадратом только в том случае, если углы его будут равны 90 град, но эффект этот достигается еще и за счет вращения вокруг оси».
Ленстра объясняет то, что изобразил Эшер в своей гравюре, сложно воспринимать человеческим глазом, поскольку изображение и при повторении изменяет свои размеры в 256 раз, но очень просто понять математику. Понять можно, но изобразить математику это оказалось не под силу и на помощь пришли мощные компьютеры.
Рисунок оказалось возможным развернуть и тогда пустой центр принял форму спирали, берущей начало в центре литографии и идущей до ее рамки… Но решение заключалось не только в этом, а еще и в бесконечной мозайке Эшера с соблюдением двойной симметрии, со смещением оси….
Рисунок оказался выполнен как на карандашной стружке, которая заворачивается при точении и как если бы мы эту стружку распрямили…Но математик задался еще одним вопросом- «случайно ли Эшер применил кручение вправо?» Команда Ленстра попыталась «раскрутить рисунок» в обоих направлениях и тут открылась тайна во всей эшеровской красе- «рисунок в рисунке». Думаешь что можешь разглядеть центр, но уходишь все «глубже» и так до бесконечности….к тому же проблема заполнения центра, тождественная заполнению пространства вокруг изображения- т.е. она невозможна…Интуиция Эшера пришла к этому безо всяких компьютеров и математических исследований не позволила ему заполнить центр оставив его незаполненным. Здесь нужен был механизм более совершенный чем карандаш…Мы же можем погрузится в рисунок с помощью компьютера.
Гениальному Эшеру удалось ближе всего наглядно подобраться к бесконечности . Когда он пришел к выводу, что рисунок не может быть закончен, он поставил в центре свою монограмму.
«Ничего более странного я в жизни не делал»– пишет Эшер своему сыну по завершению работы..
И здесь он приходит к выводу-«возможно это и есть искривленное пространство, о котором говорил Эйнштейн».
По материалам статьи Геометрия Эшера
фильма «Мауриц Эшер. Закончить незаконченное»
многочисленных статей из сети….
Мауриц Эшер – мастер оптических иллюзий
Мауриц Эшер (Maurits Escher) – выдающийся голландский художник-графист известен во всем мире своими работами.
В центре Гааги, в музее, открытом в 2002 году, и названном в его честь “Escher in het Paleis”, открыта постоянная экспозиция из 130 работ мастера. Вы скажите, что графика – это скучно? Возможно…
возможно, так можно сказать о работах художников, занимающихся графикой, но только не об Эшере. Художник, известен своим необычным видением мира и игрой с логикой пространства.
Фантастические гравюры Эшера, в буквальном смысле, можно воспринимать, как графическое изображение теории относительности. Работы, на которых изображены невозможные фигуры и перевоплощения буквально завораживают, они не похожи ни на что другое.
Мауриц Эшер был настоящим мастером головоломок и его оптические иллюзии показывают то, чего на самом деле не существует. На его картинах все меняется, плавно перетекает из одной формы в другую, лесницы не имеют начала и конца, а вода течет вверх. Кто-то воскликнет – этого не может быть! Смотрите сами.
Знаменитая картина “День и ночь”
“Восхождение и спуск”, где люди все время идут по лестнице вверх… или вниз?
“Рептилии” – здесь аллигаторы из нарисованных превращаются в объемных…
“Рисующие руки” – на которой две руки рисуют друг друга.
“Встреча”
“Рука с отражающим шаром”
Главной же жемчужиной музея является 7-метровая работа Эшера – “Метаморфозы”. Эта гравюра позволяет испытать связь между вечностью и бесконечностью, где время и пространство объединяются в единое целое.
Музей, расположился в бывшем Зимнем дворце королевы Эммы – прабабушки, правящей ныне королевы Нидерландов Беатрикс. Эмма купила дворец в 1896 году и жила в нем до самой своей смерти, в мае 1934 года. В двух залах музея, которые называют “Королевские комнаты”, сохранилась мебель и фотографии королевы Эммы, а на шторах – информация о внутреннем интерьере дворца тех времен.
На последнем этаже музея расположилась интерактивная выставка “Смотри, как Эшер”. Это настоящий волшебный мир иллюзий. В магическом шаре появляются и исчезают миры, стены двигаются и изменяются, а дети выглядят выше родителей. Чуть дальше находится необычный пол, который оптически проваливается под каждым шагом, а в серебряном шаре можно увидеть себя глазами Эшера.
А, еще в музее восхитительные люстры, созданные по эскизам художника, из Роттердама, Хансома ван Бентем. Художник сделал их дизайн специально для музея, под впечатлением работ мастера графики и они, как нельзя лучше, дополняют невероятный мир, который создал Мауриц Эшер.
Видео “Метаморфозы”
А, так могло бы выглядеть рабочее место Маурица Эшера
Математика Эшера
Математика Эшера alena37877November 26th, 2012
Источник http://www.artdesign21.narod.ru/matematika_3.htmlСтатья подготовлена по материалам, взятым из открытых источников интернета.
Названия работ переводила сама, поэтому заранее прошу извинения если где -то вкралась неточность.
Для сюжетов «классических» произведений Эшера («Рисующие руки», «Метаморфозы», «День и ночь», «Рептилии», «Встреча», «Дом с лестницей» и т. д.) характерно остроумное осмысление логических и пластических парадоксов. Многие графические и концептуальные находки Эшера вошли в число символов XX века и впоследствии неоднократно воспроизводились или «цитировались» другими художниками. В то же самое время работы Эшера подчёркнуто относятся к элитарному искусству.В процессе работы художник брал идеи из математических статей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трёхмерных фигур на плоскость, неевклидовой геометрии, «невозможных фигурах», логике трёхмерного пространства, считается, что его творчество следует рассматривать в контексте теории относительности Эйнштейна, фрейдовского психоанализа, кубизма и прочих достижений в области соотношений пространства, времени и их тождественности.Мауриц Эшер одним из первых стал изображать в своих мозаичных картинах фракталы. Во время XII Всемирного Математического Конгресса в Амстердаме в 1954 году была открыта выставка работ Эшера. Математическое описание фракталов было предложено только в 1970-е годы (термин «фрактал» был введён в 1975 году).Сам Морис Эшер, как многие гении и до и после него, утверждал: «Все мои произведения — это игры. Серьезные игры». Однако в этих играх математики всего мира вот уже несколько десятилетий рассматривают абсолютно серьёзные, материальные доказательства идей, созданных с помощью исключительно математического аппарата.Творчество Эшера оказало огромное влияние на несчетное количество художников в разных странах мира. Среди них и Жос де Мей, и Сандро дель Пре, и Иштван Орос.В 2002 году в Гааге, в бывшем королевском дворце, ранее использовавшемся как выставочный зал (нидерл. Het Paleis), открылся музей Эшера, в котором выставлены его наиболее известные графические работы.В 1968 году, за 4 года до смерти, Эшер создал фонд The M. C. Escher Foundation для того, «чтобы сохранить его наследие». The M. C. Escher Foundation продолжает организовывать выставки работ художника, выпускать книги и фильмы о нём и его работах.
Регулярное разбиение плоскости, называемое “мозаикой” – это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик – регулярными и нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют неповоряющиеся узоры) – а также ввел собственный вид, который назвал “метаморфозами”, где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости гораздо больше. В частности в мозаиках иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник.) Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.Интерес к мозаикам проявился в 1936 во время путешествия в Испании под влиянием геометрических орнаментов Альгамбры.Художник не только интересовался нерегулярным заполнением плоскости, называя это игрой, он совмещал эксперименты с заполнением плоскости с экспериментами с переходами плоскости в объём и наоборот – «Рептилии».
Небо и вода. 1938
Птицы рыбы. 1938
День и ночь. 1938
Двойные птицы. 1938
Эволюция 3. 1939
Метаморфозы 2. 1939-40
Бабочки. 1950
Ящерицы. 1942
Метаморфозы 2. Фрагмент 5. 1939 – 40
Рептилии в цвете. 1943
Рептилии. 1943
Всадник. 1946
Бабочки в круге. 1950
Магическое зеркало. 1950
Всё меньше и меньше. 1956
Мозаика 2. 1957
Рыбы и чешуя. 1959
Правильные геометрические тела – многогранники – имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из однаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это – тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре “Четыре тела” Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.Многоугольники, как и сферы, используются в работах Эшера для создания перспективы. Последней литографией в серии многоугольников была «Гравитация». На ней изображён додекаэдр, образованный двенадцатью плоскими пятиконечными звёздами.
Звезды в цвете. 1948
Звезды. 1948
Этюд из 3везд. 1948
Контраст (порядок и хаос). 1950
2 планетоида в цвете. 1949
2 планетоида. 1949
Тетраэдр планетоид. 1954
414. 1959
Спирали. 1953
409. 1954
Кожура в цвете. 1955
Кожура. 1955
Объединяющее слияние. 1956
Спиральная сфера. 1958
Среди наиболее важных работ Эшера с математической точки зрения являются картины, оперирующие с природой самого пространства. Литография “Три пересекающиеся плоскости” – хороший пример для начала обзора таких картин. Этот пример демонстрирует интерес художника к размерности пространства и способность мозга распознавать трехмерные изображения на двухмерных рисунках. Как будет ниже, Эшер позже использовал данный принцип для создания изумительных визуальных эффектов.Эшера волновали особенности перехода от плоскости к пространству, взаимодействие имеющих определённую форму двухмерных фигур и трёхмерных существ, способных передвигаться в пространстве. Эшер стремился иллюстрировать динамику явления, и видел абсурд в том, что несколько проведённых линий могут восприниматься глазом как объёмная фигура. Помимо этого, Эшер работал над заполнением пространства; на его взгляд, из созданных на эту тему работ идеальной по композиции может считаться третий «Предел круга» (рыбоподобные фигуры уменьшаются при удалении от центра круга, плотно заполняя при этом поверхность; подобное уменьшение может быть бесконечным; при этом картина демонстрирует один из видов неевклидова пространства, описанный Анри Пуанкаре: теоретически находящийся в этом пространстве человек не будет чувствовать ничего необычного, но не сможет нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединёнными прямыми линиями, так как в этом пространстве не существует квадратов и прямоугольников).Кроме особенностей евклидовой и неевклидовой геометрий Эшера интересовали визуальные аспекты топологии. Топология изучает свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например, растяжении, сжатии или изгибе. Единственное, к чему не должна приводить деформация – это к разрыву. Топологам приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах Эшера. Это может показаться странным, но у этой поверхности есть только одна сторона и одна кромка. Если вы проследите путь муравьев на литографии “Лента Мебиуса II”, то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. Сделать лист Мебиуса очень просто. Надо взять полоску бумаги, изогнуть ее, и склеить противоположные края ленты клеем. Как вы думаете, что случится, если разрезать лист Мебиуса вдоль?
Змеи.
Муравьи.
Предел круга 3. 1959
Три пересекающихся плана в цвете. 1954
Перетекание. 1956
Дракон. 1952
Два пересекающихся плана в цвете. 1952
Два пересекающихся плана. 1952
Для понимания любой картины Эшера требуется внимание и наблюдательность, а эта работа требует особого внимания. Каким-то образом Эшер завернуть пространство в кольцо, и получилось, что мальчик находится одновременно внутри картины и вне ее. Секрет этого эффекта состоит в том, каким образом преобразовано изображение. Понять это можно, анализируя карандашный набросок сетки, которым пользовался Эшер при создании картины. Эффект, который Эшер пытался достигнуть в этой картине, де Рийк объяснил как последовательное круговое распространение, “объекты в замкнутом круговом образовании не имеют ни начала ни конца.” Для создания точного каркаса картины Эшер сначала изобразил круговое распространение в виде сетки, делая размеры квадратов увеличивающимися в 256 раз по мере движения вокруг центра картины. Далее, начав с изображения обычной картины с домами на причале, помещенной в галерею, он наложил прямоугольную сетку на изображение и переносил картину с неискаженной сетки на искаженную квадрат за квадратом. Обратите внимание, что расстояние между линиями сетки увеличивается в направлении движения стрелки часов. Заметим еще, на чем основана хитрость картины – белое пятно в центре. Математики называют это пятно особым местом или особой точкой, где пространства не существует. Не существует способа изобразить этот участок картины без швов или наложений, поэтому Эшер решил эту проблему, поместив в центр картины свой автограф.
Трансформация исходной сетки в искаженную сетку, пободную сетке Эшера.
Картинная галерея. 1956
Версия “Картинной галереи” Эшера, полученная в Университете Лейдена. Наиболее значительное различие – заполненный участок картины, в том месте, где в оригинале находится белое пятное.
Под “логикой” пространства мы понимаем те отношения между физическими объектами, которые обычны для реального мира, и при нарушении которых возникают визуальные парадоксы, называемые еще оптическими иллюзиями. Большинство художников, экспериментирующие с логикой пространства, изменяют эти отношения между объектами, основываясь на своей интуиции, как, например, Пикассо.Художник создавал на своих картинах оптические иллюзии, в основном с помощью светотени. Например, на картине «Куб с полосками» невозможно определить, в какую сторону обращены объёмные «пуговицы», расположенные на ленте.Еще один из аспектов логики пространства – перспектива. На рисунках, в которых присутствует эффект перспективы, выделяют так называемые точки исчезновения, которые сообщают глазу человека о бесконечности пространства. Изучение особенностей перспективы началось еще во времена возрождения художниками Альберти, Дизаргом и многими другими. Их наблюдения и выводы легли в основу современной геометрии проекций.Эшер работает с проблемами перспективы, начиная с ранних гравюр («Вавилонская башня»); спустя десятилетия после её создания работа над перспективой велась уже не ради интересных ракурсов, но и для создания полуабсурдных произведений, позволяющих рассмотреть один и тот же объект с разных точек в рамках единой картины. Вводя дополнительные точки исчезновения и немного изменяя элементы композиции для достижения нужного эффекта, Эшер смог изобразить картины, в которых изменяется ориентация элементов в зависимости от того, как зритель смотрит на картину. На картине “Cверху и cнизу” художник разместил сразу пять точек исчезновения – по углам картины и в центре. В результате, если мы смотрим на нижнюю часть картины, то создается впечатление, что мы смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и той же композиции.Кроме того, «игрой» с логикой пространства являются картины Эшера, на которых изображены различные «невозможные фигуры»; Эшер изображал их как отдельно, так и в сюжетных литографиях и гравюрах, самой примечательной из которых является, вероятно, литография «Водопад», основанная на невозможном треугольнике (треугольник Пенроуза). Водопад играет роль вечного двигателя, а башни кажутся одинаковой высоты, хотя в одой из них на этаж меньше, чем в соседней.
Куб с магической лентой. 1957
Другой мир. 1947
Бельведер. 1958
Бельведер фрагмент. 1958
Относительные линии. 1953
Вогнутый и выпуклый. 1955
Галерея. 1946
Водопад.
Подъём и спуск фрагмент. 1960
Сверху и снизу. 1947
Наиболее очевидна тема самовоспроизведения в литографии «Рисующие руки»: хорошо прорисованы кисти рук, выходящие из ещё лишь набросанных манжетов; каждая из кистей рук рисует манжет соседней руки. Возникает «странная петля», в которой уровни рисующего и рисуемого взаимно замыкаются друг на друге. Центральная идея самовоспроизведения, взятая на вооружение Эшером, обращается к загадке человеческого сознания и способности человеческого мозга обрабатывать информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер. Литографии “Рисующие руки” и “Рыбы и чешуйки” используют эту идею разными способами. Самовоспроизведение является направленным действием. Руки рисуют друг друга, создавая самих себя. При этом сами руки и процесс их самовоспроизведения неразделимы. В работе “Рыбы и чешуйки” концепция самовоспроизведения представлена более функционально, и в данном случае она может быть названа самоподобием.Углубляясь в изучение самовоспроизведения, можно его обнаружить в отражении и пересечении отражений реального мира. Такое пересечение встречается во многих картинах Эшера. Мы рассмотрим лишь один пример – литографию “Три сферы”, на которой присутствуют три шаровидных тела, сделанных из разных материалов с различной отражающей способностью. Эти сферы отражают друг друга и художника, и комнату, в которой он работает, и лист бумаги, на котором он рисует сферы. Хофстадтер в своей книге написал “… каждая частица мира содержит в себе весь мир и содержится к во всех других частицах мира…”
Рисующие руки. 1948
Три сферы. 1946
Узлы
Сферы
Натюрморт с сферическим зеркалом. 1934
Рука с отражающей сферой. 1935
Три сферы 1 схема. 1945
Три сферы 1. 1945
Мауриц Корнелис Эшер: логические парадоксы и иллюзии в рисунках изразцов и мозаике
Рисунок на изразцах ручной работы – это творческое отражение внутреннего мира художника, оплот его мыслей и воображения, передача настроения и чувств. В красках и линиях оживает тщательно выношенная задумка или сиюмоментное внутреннее состояние. Поэтому глубокое удивление и восторг вызывает рисунок изразцов, основанный на выверенных закономерностях и научных принципах.
Речь идёт о необычном подходе к своему творчеству Маурица Корнелиса Эшера. Нидерландский художник придал исследовательский характер своим гравюрам, литографиям и орнаменту керамических изразцов и мозаики. При создании своих работ художник оперировал математическими понятиями бесконечности и симметрии, а также психологическими особенностями восприятия трёхмерных объектов.
Творчество Маурица Эшера многогранно как в идейном плане, так и в использовании средств. В арсенале его работ есть ксилографии, литографии, гравюры, мозаики и другие виды изображений. Мастер в своей работе охватил различные материалы. Его фантазии и эксперименты воплотились в дереве, металле, керамике.
Появление рисунков Маурица Эшера на изразцах и мозаике
Мауриц Эшер приходит к необычному виду реализации научного познания не в самом начале творческого пути, а только лишь в возрасте 39 лет.
От изображения пейзажей он переходит к геометрическим рисункам, вдохновившись мавританскими узорами в стенах испанской Альгамбры. Но восточный рисунок на изразцах привлекает его внимание под необычным углом зрения.
Находясь под впечатлением от увиденных орнаментов, художник увлекается заполнением плоскости.
Керамический элемент замощения плоскости по мотивам работ М. Эшера
Первые эксперименты Маурица Эшера воплощаются в литографиях. Художник опирается на научные математические статьи и черпает в них идеи. Спустя некоторое время автор становится широко известным. Первоначальное признание он получает от математиков, физиков и других представителей науки, а уже после обретает мировое имя как художник.
Став популярным, мастер выполняет работы на заказ. Именно это и сопутствует переходу изображений с гравюр и литографий на картинки изразцов и форму мозаичных фрагментов. Панно Маурица Эшера можно встретить в отделке фасадов и декоре помещений, также множество работ находятся в частных коллекциях.
Научные эксперименты в творчестве художника
Одно из основных направлений творчества Маурица Эшера – регулярное замощение плоскости. Такой подход к созданию рисунка предусматривает разбиение плоскости на одинаковые фигуры без пробелов между ними и пересечения отдельных элементов.
Математически доказано, что в таком заполнении плоскости могут участвовать 3 фигуры: треугольник, квадрат, шестиугольник. На основе этого мастер при помощи трансформации данных фигур творит свои неповторимые работы.
Регулярные мозаики используются художником для оформления нескольких зданий в Гааге.
Колонны одной из гаагских школ украшают изразцы с рисунком в виде регулярной мозаики. Чётко выверенные фигуры выполнены в чёрно-белом цвете в 3 различных композициях: с цветами, с птицами и с рыбами. Особую графичность удивительной отделке придают тонкие рельефные штрихи орнамента изразцов.
Рисунок изразцов на колонне школы, Гаага
Регулярная мозаика в отделке школьных колонн, Гаага
Керамическое панно на стене здания Национального музея керамики Принцессехоф в Леувардене показывает страсть Маурица Эшера к игре с формами. Здесь хорошо просматривается власть гения над упорядочиванием, казалось бы, непригодных для этого элементов. В данной работе фигуры птиц складываются не просто в прямоугольную плоскость, а в очертание одной большой птицы с распахнутыми крыльями.
Панно М. Эшера на стене Национального музея керамики Принцессехоф, Леуварден
Ещё одно панно из фигур рыб и птиц украсило промышленное здание в Гааге. И снова просматривается необычный подход художника. Работу выделяет и излюбленное автором слияние двухмерного и трёхмерного пространства, и необычная конфигурация, охватывающая сразу 2 стены. Снова автор играет со зрителем, создавая взаимодействие света и тени, объёма и плоскости, угла зрения и точек обзора.
Настенное панно М. Эшера, Гаага
Фасад ещё одной школы в Гааге отделан плиткой с пегасами. Вновь чёрно-белое исполнение делает акцент на линиях и формах. Данная работа особенно интересна с точки зрения научного подхода. Автор использует в качестве фигур для замощения плоскости и шестиугольники, и квадраты одновременно.
Фасад школы работы М. Эшера, Гаага
По мотивам работ Маурица Эшера в области замощения плоскости однородными объектами создаётся множество вариантов керамического декора и отделки.
Рисунок и форма изразцов сошли с гравюр и литографий и украсили стены и пол помещений, фасады зданий, перенеслись на панно.
Наибольшую популярность получили ящерицы, которых можно увидеть как в виде отдельных элементов мозаики, так и в виде картинок на изразцах.
Напольное покрытие по мотивам творчества М. Эшера
Заполнение плоскости тождественными формами является не единственным направлением работы Маурица Эшера в двухмерном пространстве. Мастер использует также нерегулярные мозаики. В этом варианте замощения плоскости одни фигуры постепенно трансформируются в другие. Такие метаморфозы порождают целые сюжеты в основе его работ.
Керамическое панно М. Эшера с нерегулярным замощением плоскости
Поглощённый игрой с плоскостью, Мауриц Эшер идёт дальше и экспериментирует с переходами от плоскости к объёмному изображению и наоборот. Одной из тематик этого направления его творчества является самовоспроизведение.
Наибольшую популярность среди работ этой серии получила литография «Рисующие руки». Несмотря на то, что подобные задумки не получили отображение в керамики рукой автора, их всё равно воспроизводят на рисунках изразцов.
Плитка с изображением сюжета литографии «Рисующие руки» М. Эшера
Мастер иллюзий и автор логических парадоксов Мауриц Эшер считал себя далёким от своих коллег художников. Он стал представителем необычного направления, называемого научным искусством.
Но именно этот необычный подход к созиданию сделал его произведения известными и узнаваемыми.
Творчество знаменитого графика занимает умы ценителей искусства, математиков, психологов, имеет последователей, используется в кинофильмах и даже встречается в детских книгах занимательной физики.
Сберечь творческое наследие художника призван фонд Эшера, основанный им в 1968 году.
Благодаря работе данной организации люди могут познакомиться с работами мастера на персональных выставках, узнать о жизни и творчестве художника из книг и фильмов, созданных фондом.
Постоянная экспозиция работ автора находится в стенах бывшего королевского дворца в Гааге и приглашает окунуться в мир загадок и шифров, глубокомысленных и порой философских сюжетов, захватывающих иллюзий и ловушек для логики и восприятия.
Математическое искусство Морица Эшера
Математическое искусство Морица Эшераkukina_kat28 февраля, 2014Сделала для жж нашего матфака пост про Мориса Эшера. Хочу поделиться с любимыми френдами, потому что, как мне кажется, Эшер интересен не только математикам.
Оригинал взят у imit_omsu в Математическое искусство Морица Эшера
«Математики открыли дверь, ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней».(М.К.Эшер)Литография “Рука с зеркальной сферой”, автопортрет.Мауриц Корнелиус Эшер — известный каждому математику голландский художник-график.Для сюжетов произведений Эшера характерно остроумное осмысление логических и пластических парадоксов.Известен, в первую очередь, работами, в которых он использовал разные математические концепции — от предела и ленты Мебиуса до геометрии Лобачевского.Ксилография “Красные муравьи”.Специального математического образования Мауриц Эшер не получал. Но с самого начала творческой карьеры интересовался свойствами пространства, изучал его неожиданные стороны.”Узы единства”.Зачастую баловался Эшер с сочетаниями 2-мерного и 3-мерного мира.Литография “Рисующие руки”.Литография “Рептилии”.
Замощения.
Замощением называют разбиение плоскости на одинаковые фигуры. Для изучения такого рода разбиений традиционно используют понятие группа симметрий. Представим себе плоскость, на которой нарисовано некоторое замощение. Плоскость можно вращать вокруг произвольной оси и сдвигать. Сдвиг определяется вектором сдвига, а поворот — центром и углом.
Такие преобразования называются движениями. Говорят, что то или иное движение — симметрия, если после него замощение переходит в себя. Рассмотрим для примера плоскость, разбитую на одинаковые квадраты — бесконечный во все стороны лист тетради в клетку.
Если такую плоскость повернуть на 90 градусов (180, 270 или 360 градусов) вокруг центра любого квадрата, замощение перейдет в себя. Также оно переходит в себя при сдвиге на вектор, параллельный одной из сторон квадратов. Длина вектора при этом должна быть кратна стороне квадрата.
В 1924 году геометр Джордж Полиа (до переезда в США Дьердь Пойа) опубликовал работу, посвященную группам симметрий замощений, в которой доказал замечательный факт (правда, уже обнаруженный в 1891 году российским математиком Евграфом Федоровым, а позже благополучно забытый): существует всего 17 групп симметрий, в состав которых входят сдвиги как минимум в двух разных направлениях. В 1936-м Эшер, заинтересовавшись мавританскими орнаментами (с геометрической точки зрения, вариант замощения), прочитал работу Полиа. Несмотря на то, что всей математики, стоящей за работой, он, по его собственному признанию, не понял, Эшер сумел ухватить ее геометрическую суть. В результате на основе всех 17 групп Эшер создал более 40 работ.Мозаика.Ксилография “День и ночь”.”Регулярное замощение плоскости IV”.Ксилография “Небо и вода”.Замощения. Группа-то простая, породающие: скользящая симметрия и параллельный перенос. А вот плитки замощения — чудесные. И в сочетании с Лентой Мёбиуса это все.Ксилография “Всадники”.Еще одна вариация на тему плоского и объемного мира и замощений.Литография “Волшебное зеркало”.Эшер дружил с физиком Роджером Пенроузом. В свободное от физики время Пенроуз занимался тем, что решал математические головоломки. Однажды ему пришла в голову такая идея: если вообразить замощение, состоящее более чем из одной фигуры, будет ли его группа симметрий отличаться от описанных у Полиа? Как оказалось, ответ на этот вопрос утвердительный — так на свет появилась мозаика Пенроуза. В 1980-х выяснилось, что она связана с квазикристаллами (Нобелевская премия по химии 2011 года).
Однако Эшер не успел (а, может, и не захотел) использовать в работе эту мозаику. (Но есть совершенно чудесная мозаика Пенроуза “Куры Пенроуза”, их нарисовал не Эшер.)
Плоскость Лобачевского.
Пятым в списке аксиом в «Началах» Евклида в реконструкции Гейберга значится такое утверждение: если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.
В современной литературе предпочитают эквивалентную и более изящную формулировку: через точку, не лежащую на прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Но даже в такой формулировке аксиома, в отличие от остальных постулатов Евклида, выглядит громоздко и запутанно — именно поэтому на протяжении двух тысяч лет ученые пытались вывести это утверждение из остальных аксиом. То есть, фактически, превратить постулат в теорему.
В XIX веке математик Николай Лобачевский попытался сделать это от противного: он предположил, что постулат неверен, и попытался обнаружить противоречие. Но его не нашлось — и в результате Лобачевский построил новую геометрию. В ней через точку, не лежащую на прямой, проходит бесконечное множество различных прямых, не пересекающихся с данной.
Лобачевский был не первым, кто обнаружил эту новую геометрию. Но он был первым, кто решился заявить о ней публично — за что, разумеется, его подняли на смех.
Посмертное признание работ Лобачевского состоялось, среди прочего, благодаря появлению моделей его геометрии — систем объектов на обычной евклидовой плоскости, которые удовлетворяли всем аксиомам Евклида, за исключением пятого постулата.
Одна из этих моделей была предложена математиком и физиком Анри Пуанкаре в 1882 году — для нужд функционального и комплексного анализа. Пусть есть круг, границу которого назовем абсолютом. «Точками» в нашей модели будут внутренние точки круга. Роль «прямых» исполняют окружности или прямые, перпендикулярные абсолюту (точнее, их дуги, попавшие внутрь круга).
То, что для таких «прямых» не выполняется пятый постулат, практически очевидно. То, что для этих объектов выполнены остальные постулаты — очевидно чуть менее, однако, это так и есть. Оказывается, в модели Пуанкаре можно определить расстояние между точками. Для вычисления длины требуется понятие римановой метрики.
Ее свойства таковы: чем ближе пара точек «прямой» к абсолюту, тем больше расстояние между ними. Также между «прямыми» определены углы — это углы между касательными в точке пересечения «прямых». Теперь вернемся к замощениям. Как они будут выглядеть, если разбить на одинаковые правильные многоугольники (то есть многоугольники со всеми равными сторонами и углами) уже модель Пуанкаре? Например, многоугольники должны становиться тем меньше, чем ближе они располагаются к абсолюту. Эта идея и была реализована Эшером в серии работ «Предел-круг». Впрочем, голландец использовал не правильные разбиения, но их более симметричные версии. Тот случай, где красота оказалась важнее математической точности.Ксилография “Предел — круг II”.Ксилография “Предел — круг III”.Ксилография “Рай и ад”.
Невозможные фигуры.
Невозможными фигурами принято называть особые оптические иллюзии — они как будто являются изображением некоторого трехмерного объекта на плоскости. Но при внимательном рассмотрении в их строении обнаруживаются геометрические противоречия.
Невозможные фигуры интересны не только математикам — ими занимаются и психологи, и специалисты по дизайну. Прадедушка невозможных фигур — так называемый куб Некера, привычное всем изображение куба на плоскости. Оно было предложено шведским кристаллографом Луисом Некером в 1832 году.
Особенность этого изображения в том, что его можно интерпретировать разным образом. Например, угол, обозначенный на этом рисунке красным кругом, может быть как ближним к нам из всех углов куба, так и, наоборот, самым дальним.
Первые настоящие невозможные фигуры как таковые были созданы другим шведским ученым Оскаром Рутерсвардом в 1930-х. В частности, он придумал собрать из кубиков треугольник, который не может существовать в природе.
Независимо от Рутерсварда уже упоминавшийся Роджер Пенроуз вместе со своим отцом Лайонелом Пенроузом опубликовали в журнале British Journal of Psychology работу под названием «Невозможные объекты: Особый тип оптических иллюзий» (1956).
В ней Пенроузы предложили два таких объекта — треугольник Пенроуза (цельную версию конструкции Рутерсварда из кубов) и лестницу Пенроуза. Вдохновителем своей работы они назвали Маурица Эшера. Оба объекта — и треугольник, и лестница — позже появились и в картинах Эшера.Литография “Относительность”.Литография “Водопад”.Литография “Бельведер”.Литография “Восхождение и спуск”.
Другие работы с математическим смыслом:
Звездчатые многоугольники:Ксилография “Звезды”.Литография “Кубическое деление пространства”.Литография “Поверхность, покрытая рябью”.Литография “Три мира”
На основе этого обзора, материалов Википедии и книжки М.Гарднера “Математические новеллы” (глава 11).
